Кікабідзе народився 19 липня 1938 року в Тбілісі. Особлива популярність прийшла до нього після ролі у фільмі Георгія Данелії "Міміно". Завдяки цій акторській роботі Кікабідзе 1978 року здобув Державну премію СРСР.
Після російсько-грузинського конфлікту 2008 року Кікабідзе скасував свої концерти в Москві і відтоді більше не відвідував Росії. Артист підтримував Майдан в Україні й активно виявляв свою проукраїнську позицію.