Кикабидзе родился 19 июля 1938 года в Тбилиси. Особая популярность пришла к нему после роли в фильме Георгия Данелии "Мимино". Эта актерская работа принесла Кикабидзе в 1978 году Государственную премию СССР.
После российско-грузинского конфликта в 2008 году Кикабидзе отменил свои концерты в Москве и с того момента больше не посещал Россию. Артист поддерживал Майдан в Украине и активно выказывал свою проукраинскую позицию.