Кікабідзе народився 1938 року у Тбілісі. Навчався у Тбіліському державному університеті імені Іване Джавахішвілі і Тбіліському інституті іноземних мов.
1959 року Кікабідзе став артистом Тбіліської філармонії. У 1963–1966 роках працював у вокальному квартеті "Діело", із 1966-го до 1980 року був солістом і грав на ударних у ВІА "Орера". Після розпаду ансамблю розпочав сольну кар'єру. Кікабідзе – виконавець багатьох популярних пісень, таких як "Чито-гврито", "Мои года – мое богатство", "Пей до дна", "Виноградная косточка" тощо. Артист продовжує гастролювати.
1966 року дебютував у кіно – зіграв у фільмі Ніколоза Санішвілі "Зустріч у горах". Найбільшої популярності у СРСР Кікабідзе набув завдяки ролям у фільмах Георгія Данелії "Не тужи!" (1969) і "Міміно" (1977). За роботу в останньому фільмі актор здобув Державну премію СРСР. Кікабідзе також знімався у фільмах "Мелодії Верійського кварталу", "Зовсім пропащий", "ТАСС уповноважений заявити..." тощо. Як режисер зняв два фільми – "Бувай здоровий, любий" (1981) і "Чоловіки та всі інші" (1985).
Після російсько-грузинської війни 2008 року скасував свої концерти в Москві і відтоді не відвідував Росії.