Кикабидзе родился в 1938 году в Тбилиси. Учился в Тбилисском государственном университете имени Иванэ Джавахишвили и Тбилисском институте иностранных языков.
В 1959 году Кикабидзе стал артистом Тбилисской филармонии. В 1963–1966 годах работал в вокальном квартете "Диэло", с 1966-го по 1980 год был солистом и играл на ударных в ВИА "Орэра". После распада ансамбля начал сольную карьеру. Кикабидзе – исполнитель множества популярных песен, таких как "Чито-гврито", "Мои года – мое богатство", "Пей до дна", "Виноградная косточка" и другие. Артист продолжает гастролировать.
В 1966 году дебютировал в кино – сыграл в фильме Николоза Санишвили "Встреча в горах". Наибольшую известность в СССР Кикабидзе принесли роли в фильмах Георгия Данелии "Не горюй!" (1969) и "Мимино" (1977). За работу в последнем фильме актер получил Государственную премию СССР. Кикабидзе также снимался в фильмах "Мелодии Верийского квартала", "Совсем пропащий", "ТАСС уполномочен заявить…" и других. Как режиссер снял два фильма: "Будь здоров, дорогой" (1981) и "Мужчины и все остальные" (1985).
После российско-грузинской войны 2008 года отменил свои концерты в Москве и с того момента не посещал Россию.