Бабич родился 28 мая 1969 года в Рязани. Там же в 1990 году окончил высшее военное командное училище связи. Служил в воздушно-десантных войсках и войсках КГБ СССР (1986–1994), участвовал в боевых действиях (при этом в официальной биографии не указывается, где именно).
После службы Бабич занялся бизнесом. За следующие четыре года он руководил компаниями "Корпорация Антей", "Шуйские ситцы" и "Росмясомолторг", которая занималась поставками обмундирования и продовольствия для российских силовых ведомств. Из-за этого в российских СМИ его называли "мясником".
Деятельность последней компании также стала предметом уголовного дела: руководство "Росмясомолторга" подозревалось в присвоении 2 млрд рублей, вырученных от продажи продуктов, поступивших в рамках программ американской и европейской гуманитарной помощи российским пенсионерам. В ходе следствия выяснилось, что продукты из США и стран ЕС отгружались не официальным фирмам-операторам, а посредникам – коммерческим структурам "Антей", "Продтекс", "Азимут", "Газинвест", "Кристалл плюс" и некоторым другим.
Сам Бабич вину отрицал. Он утверждал, что дело является "заказом" других коммерческих структур (в то время у него был конфликт с "Гута-банком").
В итоге виновным в хищении был признан топ-менеджер "Антея" Дмитрий Илясов.
С конца 90-х Бабич является чиновником. Его карьера началась с должности первого заместителя генерального директора государственного унитарного предприятия "Федеральное агентство по регулированию продовольственного рынка" при Минсельхозпроде РФ (1999–2000).
В 2000 году Бабич вошел в предвыборный штаб генерала Бориса Громова, который баллотировался на пост губернатора Московской области. По данным СМИ, он занимался финансовыми вопросами. После победы Громова Бабич получил должность заместителя председателя правительства Московской области.
В этой должности Бабич пробыл недолго – уже в августе того же года его уволили "за однократное грубое нарушение трудовых обязанностей и в связи с прекращением доступа к государственной тайне". Бабич восстановился в должности по решению суда, но сразу же написал заявление об отставке по собственному желанию.
Из Московской области Бабич переехал в Ивановскую, где получил место первого заместителя главы администрации области и главы регионального представительства в Москве (2001 год). В его ведении находились "стратегические вопросы", правоохранительный блок, сфера алкоголя и лесопродукция.
За время двухлетнего пребывания в Ивановской области Бабич попал в два скандала. В декабре 2001 года компания "ОСТ-Алко" при поддержке Бабича приобрела за $3 млн 51% акций ОАО "Спирткомбинат "Петровский". Областное управление МВД начало проверку законности сделки, а затем делом занялась генпрокуратура РФ, но ничего незаконного в этой продаже не обнаружили.
Тогда как дело о законности создания представительства Ивановской области в Москве, которое возглавлял Бабич, едва не закончилось его арестом. Содержание резиденции в столице обходилось в 5 млн. рублей – столько же тратилось на развитие здравоохранения и образования в области. Ордер на его задержание уже был подписан, но тот успел покинуть российскую столицу. Дело закрыли якобы по просьбе губернатора Ивановской области Владимира Тихонова, направившего телеграмму президенту РФ Владимиру Путину.
После Ивановской области Бабич перебрался в Чечню. В течение трех месяцев он возглавлял местное правительство. Уволился тоже со скандалом: он высказался против отставки министра финансов республики Сергея Абрамова, которая не была согласована с ним. Тогдашнему главе Чечни Ахмаду Кадырову это не понравилось – он полетел в Москву в администрацию президента РФ и на следующий день сообщил, что "вопрос с Бабичем решен". Еще через день Бабич встретился с Путиным и написал заявление об отставке.
В 2003 году был назначен помощником министра экономического развития и торговли РФ Германа Грефа. А вскоре после Бабича избрали в Государственную думу от "Единой России". В парламенте он пробыл два созыва, входил в комитет по вопросам обороны и ничем особенным не запомнился.
В последние пять лет Бабич был представителем президента РФ в Приволжском федеральном округе.