Ляшко родился в 1980 году в Ровенской области. В 2003 году окончил Национальный медицинский университет имени А.А. Богомольца, а в 2015 году – Национальную академию государственного управления при президенте Украины.
В 2003–2010 годах Ляшко работал в санитарно-эпидемиологической службе Киевской области. После этого три года – в Министерстве здравоохранения, был директором департамента Госсанэпидслужбы. В 2013–2018 годах возглавлял Киевский областной лабораторный центр. Затем четыре года руководил общественной организацией "Инфекционный контроль в Украине". С 2018-го по 2019 год занимал должность первого заместителя генерального директора Центра общественного здоровья.
В декабре 2019 года Ляшко назначили заместителем министра здравоохранения, в марте 2020 года он стал главным санитарным врачом.